16/06/2020
বিন্যাস ও সমাবেশের অঙ্ক নিয়ে অনেকের সমস্যা থাকতে পারে। তাই বিন্যাস ও সমাবেশ নিয়ে নিজের মত করে ধারণা দেবার চেষ্টা করলাম।যেকোন অঙ্কই বুঝে বুঝে করলে অনেকটাই সহজ ও দীর্ঘস্থায়ী হয়।
বিন্যাস ও সমাবেশঃ
বিন্যাস ও সমাবেশ জানার আগে জানতে হবে গণণার যোজন ও গুণন বিধি।
যোজন বিধিঃ এক লোক ঢাকা হতে তিনটি উপায়ে সিলেটে যেতে পারে আবার আরেক লোক অন্য ২টি উপায়ে যেতে পারে। তাহলে ঢাকা হতে সিলেটে যেতে মোট উপায় (৩+২) বা ৫ উপায়ে।
গুণন বিধিঃ একটা লোক ঢাকা হতে সিলেট যায় তিনটি উপায়ে আবার ফিরে আসতে পারে ২ টি উপায়ে। তাহলে সে মোট (৩*২)= ৬ টি উপায়ে গিয়ে আসতে পারবে।
বিন্যাসঃ a,b,c তিনটি বর্ণ থেকে ২ টি করে নিয়ে মোট কয়টি উপায়ে সাজাতে পারবেন? মোট ৬ টি উপায়ে সাজানো যাবে যথাঃ ab,ba, bc,cb,ac,ca। এটাই হচ্ছে বিন্যাস।অর্থাৎ এখানে ক্রম থাকবে।
সমাবেশঃ আপনারা তিনজন বন্ধু একটি জায়গায় যাবেন ধরেন নাম ক,খ ও গ সিদ্ধান্ত হলো যেকোন দুইজন গিয়ে টিকেট কেটে নিয়ে আসবেন। তাহলে কিভাবে করা যায়, ক ও খ, ক ও গ কিংবা খ ও গ এই তিনটি উপায়ে। এখানে ক ও খ, আর খ ও ক এর মধ্যে কিন্তু কোন আলাদা কোন ব্যক্তি নাই। আগের দুইজন ব্যক্তি আর পরের দুইজন ব্যক্তি একই। এভাবে সাজানোটাই সমাবেশ।
বিন্যাসকে npr ও সমাবেশকে ncr দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ n সংখ্যক জিনিস থেকে r সংখ্যক জিনিস সাজানো যায় সেটা বিন্যাস আর যদি নির্বাচন বা গঠন করা যায় তাহলে সমাবেশ।
আসুন, জেনে নেই n! মানে কি?
তিনটি ফাকাস্থানকে ৩টি বর্ণ a,b ও c দ্বারা পূরণ করা যায়। তাহলে ১ম ঘরটি আপনি পূর্ণ করতে পারবেন তিনটি বর্ণ থেকে যেকোন একটি বর্ণ থেকে। তাহলে ১ম ঘরটি পূর্ণ করা যায় ৩ টি উপায়ে, ২য় ঘরটি পূর্ণ করা যায় অন্য দুইটি বর্ণের যেকোন একটি দ্বারা অর্থাৎ ২টি উপায়ে। তাহলে ১ম ও ২য় ঘর দুইটি পূর্ণ করা যাবে ৩*২= ৬টি উপায়ে ( গুণন বিধি অনুযায়ী)। তাহলে বাকি ১ টি ঘর অবশিষ্ট ১ টি বর্ণ দ্বারা পূর্ণ করা যাবে। তাহলে ৩টি বর্ণ দ্বারা তিনটি ঘর পূরণ করা যাবে মোট ৩*২*১= ৩! = ৬ টি উপায়ে। অর্থাৎ কোন সংখ্যার ফ্যাক্টেরিয়াল মানে অই সংখ্যা হতে একবারে ১ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলির গুণফলেএ সমান। n! = n(n-1)(n-2)...........3.2.1
এখন, npr = n(n-1)(n-2).....r পর্যন্ত
= n(n-1)(n-2)....(n-r+1)
= n!/(n-r)!
ধরুন, ৫ টি জিনিস হতে ৩ টি জিনিস সাজানো যাবে ১মটি ৫টি উপায়ে, ২য়টি ৪টি উপায়ে আর ৩য় টি ৩ টি উপায়ে অর্থাৎ ৫.৪.৩ উপায়ে
= ৫.৪.৩.২.১/ ২.১= ৫!/২! = ৫!/(৫-৩)! উপায়ে।
এই কারণে npr= n!/(n-r)!
আর সমাবেশে, ncr = n!/r! (n-r)! এখানে r! ভাগ করা হয় কারণ n সংখ্যক জিনিস থেকে r সংখ্যক জিনিস নিয়ে গঠন করতে হলে r সংখ্যক জিনিসের ক্রমটা বাদ দিতে হবে। r সংখ্যক জিনিস নিজেদের মধ্যে সাজতে পারে r! উপায়ে তাই r! ভাগ করা হয়েছে।
এখন, আপনি ৫ টি বলকে সাজাবেন যার মধ্যে ৩ টি লাল ও ২টি অন্য বর্ণের। তাহলে আপনি ৫ টি বলকে সাজাতে পারবেন ৫! উপায়ে কিন্তু এখানে ৩টি লাল বল কিন্তু নিজেদের মধ্যে ৩! বা ৬টি উপায়ে সাজবে আর এই ৬ টি উপায় কিন্তু একটি ধরতে হবে কেননা ৩টি বলই লাল কোনটা আগের বল, কোনটা পরের আলাদা করা যাবে না। তাই এই ছয়টি বল নিজেদের জায়গা পরিবর্তন করে সাজলেও একটাই মনে তাই মোট সাজানো সংখ্যা ৫!/৩!। এরকম একই জিনিস কয়েকবার থাকলে সেটার ফ্যাক্টেরিয়াল দ্বারা ভাগ করতে হবে। যেমন, n সংখ্যক জিনিসের মধ্যে p, q ও r সংখ্যক বার থাকলে বিন্যাস সংখ্যা= n!/ p! q! r!
আবার, n সংখ্যক জিনিস হতে r সংখ্যক জিনিসের পুনারাবৃত্তি থাকলে বিন্যাস সংখ্যা= n^r। যেহেতু পুনারাবৃত্তি ঘটবে তাই প্রত্যেকটা ঘর সাজানো যাবে n উপায়ে। তাই r সংখ্যক পর্যন্ত সাজানো যাবে n.n.n.....n = n^r
কতিপয় উদাহরণঃ
১। ২,৫,৭,৩,০ সংখ্যা দ্বারা তিন অঙ্কের কয়টি অর্থপূর্ন সংখ্যা গঠন করে যাবে?
এটা বিন্যাসের নিয়মে করতে হবে কেননা সংখ্যাগুলি ক্রম পরিবর্তন করলে কিন্তু আলাদা আলাদা সংখ্যা গঠন করে।
৫ টি সংখ্যা নিয়ে ৩ সংখ্যা নিয়ে সংখ্যা গঠন করা যায় = 5p3 উপায়ে= 5!/(5-3)!= 5.4.3.2!/2!= 60 উপায়ে
কিন্তু প্রথমে ০থ াকলে তিন অঙ্কের সংখ্যা হবে না, তাই প্রথমে শূণ্য রেখে সংখ্যা গঠন করা যায়= 4p 2 = 4!/(4-2)! = 4.3.= 12 টি
সুতারাং ৩ অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা হবে= 60-12=48টি
উত্তরঃ 48
২।statistics শব্দটিকে কয়টি উপায়ে সাজানো যায়?
উত্তরঃ statistics শব্দটিতে বর্ণ আছে ১০টি, যার মধ্যে s 3টি, t 3টি, I ২টি ও বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
তাহলে মোটা সাজানো যায়= ১০!/৩! ৩! ২! = ৩০২৪০০ উপায়ে।
৩। একজন সংকেত প্রদানকারীর ৬ টি পতাকা আছে যার মধ্যে ১ টি সাদা, ২টি সবুজ ও ৩টি লাল। তিনি ৫টি পতাকা সারিতে ব্যবহার করে কতটি বিভিন্ন সংকেত দিতে পারবে?
এক সারিতে পাচটি পতাকা ব্যবহার করা যাবে নিম্নোক্ত উপায়ে,
সাদা( ১টি) সবুজ(২টি) লাল(৩টি)
১) ১ ২ ২
২) ১ ১ ৩
৩) ০ ২ ৩
১) এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা = ৫!/২! ২!=৩০
২) এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা= ৫!/৩!= ২০
৩) এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা = ৫!/ ২!৩!= ১০
মোট সংকেত সংখ্যা= ৩০+২০+১০= ৬০
৪। ৬ জন গণিত ও ৪ জন পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র হতে ৬ জনের একটি কমিটি গঠন করা যেতে পারে যেখানে গণিতের ছাত্রের সংখ্যাগরিষ্ঠতা থাকবে?
৬ জনের কমিটি গঠন করা যেতে পারে নিম্নোক্ত উপায়ে
গণিতের ছাত্র(৬জন) পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র(৪ জন)
১। ৪ জন ২ জন
২। ৫ জন ১ জন
৩। ৬ জন ০ জন
(১) উপায়ে গঠন করা যায়= ৬c৪ * ৪c২ = ৯০ উপায়ে
(২) উপায়ে গঠন করা যায়= ৬c৫* ৪c১ = ২৪ উপায়ে
(৩) উপায়ে গঠন করা যায় = ৬c৬ * ৪c0= ১ উপায়ে
মোট গঠন করা যায়= ৯০+২৪+১ = ১১৫ উপায়ে
৫। টেলিফোন ডিজিটের সংখ্যা ৬ ডিজিটের হলে, ১ থেকে ৯ এর মধ্যে কয়টি নাম্বার ব্যবহার করা যাবে?
এখানে, টেলিফোন ৬ ডিজিটের আর ব্যবহার করা যাবে ৯ টি সংখ্যা, তাহলে ১ম সংখ্যাটি ব্যবহার করা যাবে ৯ টি সংখ্যার যেকোন একটি, অনুরুপভাবে ২য়, ৩য় সহ অন্য ডিজিটগুলো ৯ টি সংখ্যার যেকোন একটি ব্যবহার করা যাবে। কারণ, এখানে, একটি সংখ্যা দ্বারাই ৬ ডিজিটের নাম্বার করা যাবে। তাই মোট নাম্বার দেওয়া যাবে= ৯*৯*৯*৯*৯*৯ বা ৯^৬ = ৫৩১৪৪১ টি
