05/05/2026
SSC Higher Math
উচ্চতর গণিত (SSC)
বীজগাণিতিক রাশিঃ SSC Higher Math BD-Chater 2
SSC higher math solution pdf, ssc higher math note book, এসএসসি উচ্চতর গণিত সমাধান, বীজগাণিতিক রাশ, প্রতিসম রাশি, চক্র-ক্রমিক রাশি, উৎপাদকে বিশ্লেষণ,
বীজগাণিতিক রাশিঃ প্রতিসম রাশি, চক্র-ক্রমিক রাশি, উৎপাদকে বিশ্লেষণ, সরল, আংশিক ভগ্নাংশ, মাত্রা নির্ণয়, মূখ্য সহগ নির্ণয়।
১. নিচের কোন রাশিটি প্রতিসম?
ক) a+b+c খ) xy-yz+zx গ) x2-y2+z2 ঘ) 2a2-5bc-c2
উত্তরঃ ক
২. P(x,y,z)=x3+y3+z3-3xyz হলে
(a) P(x,y,z) চক্রক্রমিক রাশি
(b) P(x,y,z) প্রতিসম রাশি
(c) P(1,-2,1)=0
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) a,b খ) a,c গ) b,c ঘ) a,b,c
উত্তরঃ ঘ
x3+px2-x-7 এর একটি উৎপাদক x+7 হলে ৩ ও ৪ নাম্বার প্রশ্নের উত্তর দাও।
৩. P এর মান কত?
ক) -7 খ) 7 গ) 54/7 ঘ) 477
উত্তরঃ খ
৪. বহুপদীটির অপর উৎপাদকগুলোর গুণফল কত?
ক) (x-1)(x-1) খ) (x+1)(x-2)
গ) (x-1)(x+3) ঘ) (x+1)(x-1)
উত্তরঃ ঘ
৫. x4-5x3+7x2-a বহুপদীর একটি উৎপাদক x-2 হলে, দেখাও যে a=4।
সমাধানঃ
ধরি, P(x)=x4-5x3+7x2-a
x-2, P(x) এর একটি উৎপাদক হলে, P(2)=0 হবে।
∴ P(2)=24-5.23+7.22-a
বা, 0=16-40+28-a
বা, 0=4-a
বা, a=4 (দেখানো হলো)
৬. মনে কর, P(x)=ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a যেখানে a,b,c ধ্রুবক এবং a≠0। দেখাও যে, x-r যদি P(x) এর একটি উৎপাদক হয়, তবে P(x) এর আরেকটি উৎপাদক হবে (rx-1)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, P(x)=ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a
এখন P(r)=0 [x-r, P(x) এর উৎপাদক]
P(r)=ar5+br4+cr3+cr2+br+a
বা, ar5+br4+cr3+cr2+br+a=০……..(i)
এখন, rx-1, P(x) এর একটি উৎপাদক হলে P(1/r)=0 হবে,
তাহলে,
P(1/r)
=a(1/r)5+b(1/r)4+c(1/r)3+c(1/r)2+b(1/r)+a
=(a/r5)+((b/r4)+(c/r3)+(c/r2)+(b/r)+a
a+br+cr2+cr3+br4+ar5
=----------------------------------
r5
0
=---------- [(i) নং হতে]
r5
=0
∴ (rx-1), p(x) এর একটি উৎপাদক (দেখানো হলো)
৭. উৎপাদকে বিশ্নেষণ কর (ক-জ):
ক) x4+7x3+17x2+17x+6
সমাধানঃ
ধরি, f(x)=x4+7x3+17x2+17x+6
∴ f(-1)=(-1)4+7(-1)3+17(-1)2+17(-1)+6
=1-7+17-17+6
=0
x-(-1) বা x+1, f(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন,
x4+7x3+17x2+17x+6
=x4+x3+6x3+6x2+11x2+11x+6x+6
=x3(x+1)+6x2(x+1)+11x(x+1)+6(x+1)
=(x+1)(x3+6x2+11x+6)
আবার ধরি, g(x)=(x3+6x2+11x+6)
g(-1)= (-1)3+6(-1)2+11(-1)+6
=-1+6-11+6
=12-12
=0
∴ x+1, g(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x3+6x2+11x+6
=x3+x3+5x2+5x+6x+6
=x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)
=(x+1)(x2+5x+6)
=(x+1)(x2+3x+2x+6)
=(x+1){x(x+3)+2(x+3)}
=(x+1)(x+2)(x+3)
∴ x4+7x3+17x2+17x+6=(x+1)(x+1)(x+2)(x+3)
=(x+1)2(x+2)(x+3)
খ) 4a4+12a3+7a2-3a-2
সমাধানঃ
ধরি, f(a)=4a4+12a3+7a2-3a-2
f(-1)= 4(-1)4+12(-1)3+7(-1)2-3(-1)-2
=4-12+7+3-2
=14-14
=0
∴ (a+1), f(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 4a4+12a3+7a2-3a-2
=4a4+4a3+8a3+8a2-a2-a-2a-2
=4a3(a+1)+8a2(a+1)-a(a+1)-2(a+1)
=(a+1)(4a3+8a2-a-2)
আবার, ধরি, g(a)= 4a4+8a2-a-2
g(-2)= 4(-2)3+8(-2)2-a-2
=4.(-8)+8.4+2-2
=-32+32+2-2
=0
∴ (a+2), g(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 4a3+8a2-a-2
=4a2(a+2)-1(a+2)
=(a+2)(4a2-1)
=(a+2){(2a)2-12}
=(a+2)(2a-1)(2a+1)
∴ 4a4+12a3+7a2-3a-2=(a+1)(a+2)(2a-1)(2a+1)
গ) x3+2x2+2x+1
সমাধানঃ
ধরি, f(x)= x3+2x2+2x+1
f(-1)=(-1)3+2(-1)2+2(-1)+1
=-1+2-2+1
=0
∴ (x+1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x3+2x2+2x+1
=x3+x2+x2+x+x+1
=x2(x+1)+x(x+1)+1(x+1)
=(x+1)(x2+x+1)
ঘ) x(y2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2)+3xyz
সমাধানঃ
x(y2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2)+3xyz
=xy2+z2x+yz2+x2y+zx2+zy2+3xyz
=(xy2+x2y+xyz)+(y2z+yz2+xyz)+(zx2+z2x+xyz)
=xy(y+x+z)+yz(y+x+z)+zx(y+x+z)
=(x+y+z)(xy+yz+zx)
ঙ) (x+1)2(y-z)+(y+1)2(z-x)+(z+1)2(x-y)
সমাধানঃ
(x+1)2(y-z)+(y+1)2(z-x)+(z+1)2(x-y)
=(x2+2x+1)(y-z)+(y2+2y+1)(z-x)+(z2+2z+1)(x-y)
=x2(y-z)+2x(y-z)+(y-z)+y2(z-x)+2y(z-x)+(z-x)+z2(x-y)+2z(x-y)+(x-y)
=x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)+2xy-2zx+2yz-2xy+2zx-2yz+-z+z-x+x-y
=x2y-zx2+y2z-xy2+z2(x-y)
=x2y-xy2-zx2+y2z+z2(x-y)
=xy(x-y)-z(x2-y2)+z2(x-y)
=(x-y){xy-z(x+y)+z2}
=(x-y)(xy-zx-zy+z2)
=(x-y){x(y-z)-z(y-z)}
=(x-y)(x-z)(y-z)
=-(x-y)(y-z)(z-x)
চ) b2c2(b2-c2)+c2a2(c2-a2)+a2b2(a2-b2)
সমাধানঃ
b2c2(b2-c2)+c2a2(c2-a2)+a2b2(a2-b2)
=b4c2-b2c4+c4a2-c2a4+a2b2(a2-b2)
=c4a2-b2c4+b4c2-c2a4+a2b2(a2-b2)
=c4(a2-b2)+c2(b4-a4)+a2b2(a2-b2)
=c4(a2-b2)+c2(b2-a2)(b2+a2)+a2b2(a2-b2)
=c4(a2-b2)-c2(a2-b2)(b2+a2)+a2b2(a2-b2)
=(a2-b2){c4-c2(b2+a2)+a2b2}
=(a2-b2)(c4-c2b2-c2a2+a2b2)
=(a2-b2){c2(c2-b2)-a2(c2-b2)
=(a2-b2)(c2-b2)(c2-a2)
=(a-b)(a+b)(c-b)(c+b)(c-a)(c+a)
=-(a+b)(a-b)(b-c)(b+c)(c-a)(c+a)
ছ) 15x2+2xy-24y2-x+24y-6
সমাধানঃ
15x2+2xy-24y2-x+24y-6
=15x2+20xy-10x-18xy-24y2+12y+9x+12y-6
=5x(3x+4y-2)-6y(3x+4y-2)+3(3x+4y-2)
=(3x+4y-2)(5x-6y+3)
জ) 15x2-24y2-6z2+2xy-xz+24yz
সমাধানঃ
15x2-24y2-6z2+2xy-xz+24yz
=15x2-18xy+9xz+20xy-24y2+12yz-10xz+12yz-6z2
=3x(5x-6y+3z)+4y(5x-6y+3z)-2z(5x-6y+3z)
=(5x-6y+3z)(3x+4y-2z)
৮.
1
---
a3
+
1
---
b3
+
1
---
c3
=
3
---
abc
হলে, bc+ca+ab=0 বা a=b=c
সমাধানঃ
ধরি, (1/a)=x; (1/b)=y; (1/c)=z
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণ নিন্মরূপঃ
x3+y3+z3=3xyz
বা, x3+y3+z3-3xyz=0
বা, ½(x+y+z){(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2}=0
∴ হয় (x+y+z)=0
বা, (1/a)+(1/b)+(1/c)=0
bc+ca+ab
বা, --------------- = 0
abc
বা, bc+ca+ab=0
অথবা,
(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=0
কিন্ত দুই বা ততোধিক বর্গ রাশির সমষ্টি শূন্য হলে এদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে।
সুতরাং,
(x-y)2=0
বা, x-y=0
বা, x=y
বা, (1/a)=(1/b)
বা, a=b
একইভাবে পাই, b=c, c=a
অর্থাৎ, a=b=c
∴ bc+ca+ab=0 বা a=b=c (দেখানো হলো)
৯. যদি x=b+c-a, y=c+a-b এবং z=a+b-c হয়, তবে দেখাও যে, x3+y3+z3-3xyz=4(a3+b3+c3-3abc)।
সমাধানঃ
বামপক্ষ
=x3+y3+z3-3xyz
= ½(x+y+x){(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2}
= ½(b+c-a+c+a-b+a+b-c){(b+c-a-c-a+b)2+(c+a-b-a-b+c)2+(a+b-c-b-c+a)2} [x,y,z এর মান বসিয়ে]
=½(a+b+c){(2b-2a)2+(2c-2b)2+(2a-2c)2}
=½(a+b+c){4(a-b)2+4(b-c)2+4(c-a)2}
=4.½(a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}
=4(a3+b3+c3-3abc)
=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
১০. সরল কর (ক-ঘ):
সমাধানঃ ক-ঘ এর সমাধান নিন্মে দেওয়া হলোঃ
১১. আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করঃ (ক-ঙ)
5x+4
ক) ------------
x(x+2)
সমাধানঃ
মনে করি,
5x+4 A B
------------=---- + ------- ….(i)
x(x+2) x x+2
(i) এর উভয়পক্ষকে x(x+2) দ্বারা গুণ করে পাই,
5x+4=A(x+2)+Bx…….(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
(ii) এর উভয়পক্ষে x=0 বসিয়ে পাই,
0+4=2A+0
বা, A=2
আবার, (ii) এর উভয়পক্ষে x=-2 বসিয়ে পাই,
-10+4=0-2B
বা, -6=2B
বা, B=3
A ও B এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
5x+4 2 3
------------=----+-------
x(x+2) x x+2
∴ নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশঃ
2 3
---- +-------
x x+2
x+2
খ) ------------
x2-7x+12
সমাধানঃ
এখানে,
x2-7x+12=x2-3x-4x+12=(x-3)(x-4)
সুতরাং,
x+2 x+2
---------- =---------------
x2-7x+12 (x-3)(x-4)
মনে করি,
x+2 A B
------------=------+------- ….(i)
(x-3)(x-4) x-3 x-4
(i) এর উভয়পক্ষকে (x-3)(x-4) দ্বারা গুণ করে পাই,
x+2=A(x-4)+B(x-3)…….(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
(ii) এর উভয়পক্ষে x=3 বসিয়ে পাই,
3+2=A(3-4)+B(3-3)
বা, 5=-A
বা, A=-5
আবার, (ii) এর উভয়পক্ষে x=4 বসিয়ে পাই,
4+2=A(4-4)+B(4-3)
বা, 6=B
বা, B=6
A ও B এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
x+2 -5 6
------------=------+-------
(x-3)(x-4) x-3 x-4
∴ নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশঃ
6 5
------- - -------
x-4 x-3
x2-9x-6
গ) -----------------
x(x-2)(x+3)
সমাধানঃ
(i) এর উভয়পক্ষকে x(x-2)(x+3) দ্বারা গুণ করে পাই,
x2-9x-6=A(x-2)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x-2)…….(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
(ii) এর উভয়পক্ষে x=0 বসিয়ে পাই,
-6=A(-2)(3)+0+0
বা, -6=-6A
বা, A=1
আবার, (ii) এর উভয়পক্ষে x=2 বসিয়ে পাই,
4-18-6=0+B.2(5)+0
বা, -20=10B
বা, B=-2
(ii) এর উভয়পক্ষে x=-3 বসিয়ে পাই,
9+27-6=0+0+C(-3)(-5)
বা, 30=15C
বা, C=2
A, B ও C এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
x2-9x-6
--------------
x(x-2)(x+3)
=
1
--
x
-
2
----
x-2
+
2
----
x+3
∴ নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশঃ
1
--
x
-
2
----
x-2
+
2
----
x+3
x2-4x-7
ঘ)------------------
(x+1)(x2+4)
(i) এর উভয়পক্ষকে (x+1)(x2+4) দ্বারা গুণ করে পাই,
x2-4x-7=A(x2+4)+(Bx+C)(x+1)…….(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
(ii) এর উভয়পক্ষে x=-1 বসিয়ে পাই,
(-1)2-4.(-1)-7=A(1+4)
বা, 1+4-7=5A
বা, A=-2/5
আবার, (ii) নং থেকে x2, x এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
A+B=1
বা, -(2/5)+B=1
বা, B=7/5
এবং, B+C=-4
বা, (7/5)+C=-4
বা, C=-27/5
A, B ও C এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
x2
ঙ)--------------------
(2x+1)(x+3)2
(i) এর উভয় পক্ষকে (2x+1)(x+3)2 দ্বারা গুণ করে পাই,
x2=A(x+3)2+B(2x+1)(x+3)+C(2x+1)…….(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
(ii) এর উভয়পক্ষে x=-3 বসিয়ে পাই,
(-3)2=C{2(-3)+1}
বা, 9=-C(-6+1)
বা, 5C=9
বা, C=-9/5
আবার, (ii) এর উভয়পক্ষে x=-½ বসিয়ে পাই,
(-½)2=A(-½+3)2
বা, ¼=A{(-1+6)/2}2
বা, ¼=A(5/2)2
বা, ¼=A.25/4
বা, 1=25A
বা, A=1/25
(ii) নং থেকে x2 এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
A+2B=1
বা, (1/25)+2B=1
বা, 2B=1-(1/25)
বা, 2B=(25-1)/25
বা, 2B=24/25
বা, B=12/25
১২. x,y,z এর একটি বহুপদী হলো F(x,y,z)=x3+y3+z3-3xyz
ক) দেখাও যে, F(x,y,z) হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি।
খ) F(x,y,z) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর এবং যদি F(x,y,z)=0, x+y+z≠0 হয়, তবে দেখাও যে, (x2+y2+z2)=(xy+yz+zx)
গ) যদি x=b+c-a, y=c+a-b এবং z=a+b-c হয়, তবে দেখাও যে, F(a,b,c) : F(x,y,z)= 1 : 4
সমাধানঃ
ক)
দেওয়া আছে, F(x,y,z)=x3+y3+z3-3xyz
প্রদত্ত রাশিটি x,y,z চলকের বহুপদী।
x এর স্থলে y, y এর স্থলে z এবং z এর স্থলে x বসিয়ে পাই,
F(y,z,x)=y2+z3+x3-3yzx
= x3+y3+z3-3xyz
দেখা যায় যে, চলকগুলো স্থান পরিবর্তন করলেও রাশিটি একই থাকে।
অর্থাৎ, F(x,y,z)=F(y,z,x)
সুতরাং F(x,y,z) একটি চক্র-ক্রমিক রাশি (দেখানো হলো)
খ)
F(x,y,z)
=x3+y3+z3-3xyz
=(x+y)3-3xy(x+y)+z2-3xyz
=(x+y)3+z3-3xy(x+y+z)
=(x+y+z){(x+y)2-(x+y).z+z2}-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x2+2xy+y2-zx-yz+z2-3xy)
=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) (Ans.)
প্রশ্নমতে,
F(x,y,z)=0
বা, (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=0
বা, (x2+y2+z2-xy-yz-zx)=0 [(x+y+z)≠0]
বা, x2+y2+z2=xy+yz+zx (দেখানো হলো)
গ)
দেওয়া আছে, x=b+c-a, y=c+a-b এবং z=a+b-c
খ হতে পাই,
F(x,y,z)
=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
= ½(x+y+x)(2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx)
=½(x+y+z){(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2}
=½(b+c-a+c+a-b+a+b-c){(b+c-a-c-a+b)2+(c+a-b-a-b+c)2+(a+b-c-b-c+a)2} [x,y,z এর মান বসিয়ে]
=½(a+b+c){(2b-2a)2+(2c-2b)2+(2a-2c)2}
=½(a+b+c){4(a-b)2+4(b-c)2+4(c-a)2}
=4.½.(a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}
=4(a3+b3+c3-3abc) [সূত্রানুসারে]
=4.F(a,b,c)
∴ F(x,y,z)=4.F(a,b,c)
বা, F(a,b,c) : F(x,y,z) = 1 : 4 (দেখানো হলো)
১৩. P(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca) এবং Q=a-3+b-3+c-3-3a-1b-1c-1।
ক) P(a,b,c) চক্র ক্রমিক এবং প্রতিসম রাশি কিনা তা কারণ সহ উল্লেখ কর।
খ) Q=0 হলে, প্রমাণ কর যে, a=b=c অথবা ab+bc+ca=0।
গ) P(a,b,c)=abc হলে দেখাও যে,
1
---------- =
(a+b+c)7
1
-- +
a7
1
-- +
b7
1
--
c7
সমাধানঃ
ক)
P(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)
এখানে, a=b, b=c, c=a বসালে পাই
P(b,c,a)=(b+c+a)(bc+ca+ab)=(a+b+c)(ab+bc+ca)
অর্থাৎ চক্রাকারে a=b, b=c, c=a বসালেও রাশিটির মানের কোন পরিবর্তন হয় না।
∴ রাশিটি চক্র-ক্রমিক রাশি।
আবার,
a এর স্থানে b এবং b এর স্থানে a বসালে পাই,
P(b,a,c)=(a+c+b)=(ac+cb+ba)=(a+b+c)(ab+bc+ca)
অর্থাৎ a,b,c চলকের যেকোন-দুইটি স্থান বিনিময় করলে রাশিটির মান অপরিবর্তিত থাকে।
∴ রাশিটি প্রতিসম রাশি।
খ)
দেওয়া আছে,
Q=a-3+b-3+c-3-3a-1b-1c-1
Q=0 হলে,
1
-- +
a3
1
-- +
b3
1
-- -
c3
3
---
abc
= 0
বা,
1
-- +
a3
1
-- +
b3
1
-- =
c3
3
---
abc
বাকী অংশ এই অনুশীলনীর ৮ নং প্রশ্নের সমাধান এ দেখ।
গ)
দেওয়া আছে,
P(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)
বা, abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)
বা, abc=a2b+abc+ca2+ab2+b2c+abc+abc+bc2+c2a
বা, 0= a2b+abc+ca2+ab2+b2c+abc+bc2+c2a
বা, 0=a2b+ab2+abc+ca2+ b2c+abc+ bc2+c2a
বা, 0=ab(a+b)+ac(b+a)+bc(b+a)+c2(b+a)
বা, 0=(ab+ac+bc+c2)(a+b)
বা, (a+b){a(b+c)+c(b+c)}=0
বা, (a+b)(a+c)(b+c)=0
বা, (a+b)=0 অথবা, (a+c)=0 অথবা, (b+c)=0
∴ a=-b; a=-c; b=-c
এখন,
1
------------
(a+b+c)7
1
=------------ [b=-c]
(a-c+c)7
1
=----
a7
আবার,
1
-- +
a7
1
-- +
b7
1
--
c7
=
1
-- +
a7
1
----- +
(-c)7
1
--
c7
=
1
-- +
a7
-1
----- +
c7
1
--
c7
=
1
--
a7
তাহলে
1
---------- =
(a+b+c)7
1
-- +
a7
1
-- +
b7
1
--
c7
[দেখানো হলো]
১৪. P(x)=18x3+bx2-x-2 এবং Q(x)=4x4+12x3+7x2-3x-2
Q(x)
ক) ------- ভাগফলটির মাত্রা নির্ণয় কর।
P(x)
সমাধানঃ
এখানে,
Q(x) এর মাত্রা 4
P(x) এর মাত্রা 3
∴ Q(x)/P(x) এর মত্রা = 4-3=1
খ) 3x+2, P(x) এর একটি উৎপাদক হলে b এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
P(x)=18x3+bx2-x-2
3x+2, P(x) এর একটি উৎপাদক
∴ P(-⅔)=0
তাহলে,
P(-⅔)=18.(-⅔)3+b(-⅔)2-(-⅔)-2
বা, 18.(-⅔)3+b(-⅔)2-(-⅔)-2=0
বা,
-18.8
------- +
27
b.4
---- +
9
2
--
3
-2
= 0
বা,
b.4
---- =
9
18.8
------- -
27
2
--
3
+2
বা,
b.4
---- =
9
2.8
------- -
3
2
--
3
+2
বা,
b.4
---- =
9
16
------- -
3
2
--
3
+2
বা,
4b
---- =
9
16-2+6
---------
3
বা,
4b
---- =
9
20
----
3
বা,
b =
20✕9
------
3✕4
বা,
b = 15
8x2-2
গ) --------- কে
Q(x)
আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
Q(x)=4x4+12x3+7x2-3x-2
8x2-2
∴ ---------
Q(x)
8x2-2
=-------------------------
4x4+12x3+7x2-3x-2
8x2-2
=---------------------------------
4x4+4x3+8x3+8x2-x2-x-2x-2
8x2-2
=----------------------------------------
4x3(x+1)+8x2(x+1)-x(x+1)-2(x+1)
8x2-2
=------------------------
(x+1)(4x3+8x2-x-2)
8x2-2
=------------------------------
(x+1){4x2(x+2)-1(x+2)}
8x2-2
=------------------------
(x+1)(x+2)(4x2-1)
2(4x2-1)
=------------------------
(x+1)(x+2)(4x2-1)
2
=----------------
(x+1)(x+2)
ধরি,
2 A B
---------------- = ------- + -------- …(i)
(x+1)(x+2) (x+1) (x+2)
(i) এর উভয়পক্ষকে (x+1)(x+2) দ্বারা গুণ করে পাই,
2=A(x+2)+B(x+1)…….(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
(ii) এ x=-2 বসিয়ে পাই,
2=0+B(-2+1)
বা, -B=2
বা, B=-2
আবার, (ii) এ x=-1 বসিয়ে পাই,
2=A(-1+2)+0
বা, 2=A
বা, A=2
A ও B এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
2 2 -2
---------------- = ------- + --------
(x+1)(x+2) (x+1) (x+2)
∴ নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশঃ
2 2
------- - -------
(x+1) (x+2)
১৫. চলক x এর দুইটি বহুপদী P(x)=7x2-3x+4x4-a+12x3 এবং Q(x)=6x3+x2-9x+26।
ক) P(x) কে আদর্শরুপে নিখে এর মূখ্য সহগ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
P(x)=7x2-3x+4x4-a+12x3
বহুপদটির আদর্শ রূপ=4x4+12x3+7x2-3x-a
এর মূখ্য সহগ=4
খ) P(x) এর একটি উৎপাদক (x+2) হলে a এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
P(x)=7x2-3x+4x4-a+12x3
(x+2), P(x) এর উৎপাদক হলে,
P(-2)=0
∴ 0=7(-2)2-3(-2)+4(-2)4-a+12(-2)3
বা, 7.4+3.2+4.16-a-12.8=0
বা, 28+6+64-a-96=0
বা, 2-a=0
বা, a=2
গ) দেখাও যে, P(x) এবং Q(x) এর একটি সাধারণ উৎপাদক বিদ্যমান।
সমাধানঃ
P(x)=7x2-3x+4x4-a+12x3
=4x4+12x3+7x2-3x-a
=4x4+12x3+7x2-3x-2 [a=-2, খ হতে]
=4x4+8x3+4x3+8x2-x2-2x-x-2
=4x3(x+2)+4x2(x+2)-x(x+2)-1(x+2)
=(x+2)(4x3+4x2-x-1)
=(x+2){4x2(x+1)-1(x+1)}
=(x+2)(x+1)(4x2-1)
=(x+2)(x+1){(2x)2-12}
=(x+2)(x+1)(2x-1)(2x+1)
P(x) এর উৎপাদক সমূহঃ (x+2), (x+1), (2x-1), (2x+1)
আবার,
Q(x)=6x3+x2-9x+26
এখন, P(x) এর উৎপাদকসমূহের মান হতে, x=-2, x=-1, x=-½ ও x=½ এর জন্য Q(x) এর মান যাচাই করে পাই Q(-2)=0,
Q(-2)=6.(-2)3+(-2)2-9(-2)+26=-48+4+18+26=0
সুতরাং, (x+2), Q(x) এর উৎপাদক।
অর্থাৎ P(x) এবং Q(x) এর একটি সাধারণ উৎপাদক বিদ্যমান যা হলো (x+2).
